首页 > 高中 > 高中数学学习 > 高中数学公式

2017年高中数学公式整理:积化和差公式

2017-10-09 19:50:21

当高中倒计时的钟声开始响起,一段全新的旅程也即将开启。那是一个新的环境,那更是一座新的高峰!等着你去攀登!你准备好了吗?现将积化和差公式整理如下。

2017年高中数学公式整理:积化和差公式

【积化和差公式】

积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

公式

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

证明

法1

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算,参见和差化积)

法2

根据欧拉公式,e^ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

记忆方法

积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了特点各自的简单记忆方法。

【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该 是

[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:

cos(α-β)-cos(α+β)

=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

=2sinαsinβ

故最后需要除以2。

【记忆方法】

如何巧记「积化和差」与「和差化积」公式?

首先你应该记得下面两个公式:

COS(2X)=COS^2(X)-SIN^2(X);SIN(2X)=2SIN(X)COS(X)

接下来利用这两个公式你可以写出下面两个公式:(上面的公式做验证之用)

COS(X+Y)=COS(X)COS(Y)-SIN(X)SIN(Y);SIN(X+Y)=SIN(X)COS(Y)+COS(X)SIN(Y)

将-Y代入Y,利用SIN是奇函数,COS是偶函数可以写出:

COS(X-Y);SIN(X-Y)

这是加法公式。

然后,将上面四个式子两两相加(或相减)除二,便得到积化和差。

方法如下:将COS(X+Y)和COS(X-Y)相加除二,即可得到以下式子:

1/2(COS(X+Y)+COS(X-Y))=COS(X)COS(Y)

正确地选择式子便可得到全部积化和差公式。

最后,利用积化和差的式子可以推出和差化积。

方法如下:将X+Y记为A,X-Y记为B,则上式变为:

1/2(COS(A)+COS(B))=COS(1/2(A+B))COS(1/2(A-B))

将四个积化和差稍作变形便可以得到全部和差化积公式。

积化和差公式介绍到这里了,想必大家已经积累了不少文化知识,同时也一定不要忘了及时调整自己的【学习计划】,提前做好开学的准备!

手机版-PC版

3G.51EDU.COM

TOP